继父是继子的亲父的监护人，我可以继续监护他吗

不是。法定的监护人是父母，有些孩子户口不一定和父母一起，有可能跟祖父母或者其他亲属。但是监护人就是父母了。
《婚姻法》第三十七条 离婚后的子女抚养
离婚后，一方抚养的子女，另一方应负担必要的生活费和教育费的一部或全部，负担费用的多少和期限的长短，由双方协议；协议不成时，由人民判决。 关于子女生活费和教育费的协议或判决，不妨碍子女在必要时向父母任何一方提出超过协议或判决原定数额的合理要求。