哪些人应该承担债务人去世后其遗留的债务

1、债务人去世之后遗留的债务应当由其继承人承担，但是继承人只需要在继承的遗产范围内承担，超出遗产范围的债务，继承人不需要承担，如果继承人放弃继承的，则也不需要对该债务承担偿还责任。
2、法律依据《民法典》
第一千一百五十九条 分割遗产，应当清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务；但是，应当为缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人保留必要的遗产。
第一千一百六十一条 继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。
第一千一百六十二条 执行遗赠不得妨碍清偿遗赠人依法应当缴纳的税款和债务。