配偶去世后留下的遗产应该怎样处理

结论：配偶去世后留下的遗产的处理是有遗赠扶养协议的，按照协议办理。
解析：
配偶去世后留下的遗产的处理是有遗赠扶养协议的，按照协议办理。若是没有遗赠扶养协议，有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理。若是都没有的，应当按照法定继承办理。若是财产属于夫妻共同才财产的，则只有一半属于遗产。
法律依据：
《中华人民共和国民法典》第一千一百二十三条
继承开始后，按照法定继承办理；有遗嘱的，按照遗嘱继承或者遗赠办理；有遗赠扶养协议的，按照协议办理。
《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条
遗产按照下列顺序继承：
（一）第一顺序：配偶、子女、父母；
（二）第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。
本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。
本编所称父母，包括生父母、养父母和有扶养关系的继父母。