审查再审申请期间被申请人能否提出再审申请

不可以，案件经过审理后当事人对审判的结果不服的，可以向上一级的人民法院申请再审。申请再审的需要在一定的时间内提交上诉状。再审程序，是指法院对已经发生法律效力的判决、裁定，在具有法律规定的再审事由时，依据法律规定的程序对原审案件也称“本案”再次进行审理并作出裁判的一种特别救济程序。
当事人的申请符合下列十三种情形之一的，人民法院应当再审：
（一）有新的证据，足以推翻原判决、裁定的；
（二）原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明的；
（三）原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的；
（四）原判决、裁定认定事实的主要证据未经质证的；
（五）对审理案件需要的证据，当事人因客观原因不能自行收集，书面申请人民法院调查收集，人民法院未调查收集的；
（六）原判决、裁定适用法律确有错误的；
（七）违反法律规定，管辖错误的；
（八）审判组织的组成不合法或者依法应当回避的审判人员没有回避的；
（九）无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼或者应当参加诉讼的当事人，因不能归责于本人或者其诉讼代理人的事由，未参加诉讼的；
（十）违反法律规定，剥夺当事人辩论权利的；
（十一）未经传票传唤，缺席判决的；
（十二）原判决、裁定遗漏或者超出诉讼请求的；
（十三）据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更的。
除此之外，还有两种再审理由，即违反法定程序可能影响案件正确判决、裁定的以及审判人员在审理该案时有职务违法犯罪的情形。
【法律依据】
《民事诉讼法》第十条，人民法院审理民事案件，依照法律规定实行合议、回避、公开审判和两审终审制度。
《民事诉讼法》第二百零九条，有下列情形之一的，当事人可以向人民检察院申请检察建议或者抗诉：
（一）人民法院驳回再审申请的；
（二）人民法院逾期未对再审申请作出裁定的；
（三）再审判决、裁定有明显错误的。人民检察院对当事人的申请应当在三个月内进行审查，作出提出或者不予提出检察建议或者抗诉的决定。当事人不得再次向人民检察院申请检察建议或者抗诉。